Solução dos problemas propostos na aula 02 - Interpolação trigonométrica¶

Problemas¶

Problema 1¶

Seja a seguinte função definida no domínio $-1 < x \le 1$:

$$ y(x) = \left\{\begin{matrix} -1 & x < 0 \\ 1 & x > 0\\ 0 & x=0\end{matrix}\right. $$

1. Ache os coeficientes $a_n$ e $b_n$ da série de Fourier
2. Plote a série de Fourier para diferentes números de termos da série de Fourier. Percebe algo estranho?
3. Qual a relação desta função com a função $y = |x|$ que estudamos anteriormente?
4. Escolha diferentes números de pontos e interpole esta função nestes pontos

Solução¶

Ache os coeficientes $𝑎_n$ e $𝑏_𝑛$ da série de Fourier¶

Esta é uma função ímpar, portanto os coeficientes $a_n$ são nulos!

$$ b_n = \frac{2}{L_0}\int_{-L_0/2}^{L_0/2} y(x) \cdot \sin\left(\frac{2\pi n x}{L_0}\right)\:dx = 2\int_0^1 \sin\left(\pi n x\right)\:dx = \frac{2}{n\pi}\left(1 - \cos n\pi\right) = \frac{2}{n\pi}\left[1 - (-1)^n\right] $$

Plote a série de Fourier para diferentes números de termos da série de Fourier¶

Qual a relação desta função com a função $y = |x|$ que estudamos anteriormente?¶

Esta função é a derivada da função $y = |x|$!

E a série de $dy/dx$ é formada pelas derivadas da série original!

Existem condições específicas onde se pode derivar a série termo a termo. Mas se as funções forem suaves, derive e integre a vontade! Funciona até para algumas descontinuidades.

Escolha diferentes números de pontos e interpole esta função nestes pontos¶

Lembram da função myresample? Do jeito que foi implementada originalmente, só funcionava para N ímpar! Vamos primeiro entender isso.

Problema 2¶

Verifique a ortogonalidade discreta da base trigonométrica, ou seja,

$$ \sum_{i=1}^Q \phi_n(x_i)\cdot \phi_k(x_i)=0 \qquad k\ne n, k+n \text{ e } k-n \text{ não são múltiplos de}\: Q/2 $$

para

\begin{align} \phi_0(x) &= \frac{1}{2}\\ \phi_n(x) &= \cos\left(\frac{2\pi n x}{L_0}\right) \qquad 0\le n \le N \\ \phi_{n+N}(x) &= \sin\left(\frac{2\pi n x}{L_0}\right) \qquad 1\le n \le N \end{align}

Problema 3¶

Nos exemplos iniciais usando a DFT, ao se escolher os pontos, foi utilizado o seguinte código:

L₀ = 1.0; Q = 16; freq=1
x = range(0.0, L₀, length=Q+1)[1:Q]

O que acontece se utilzarmos a expressão mais simples a seguir?

x = range(0.0, L₀, length=Q)

O que está acontecendo? Você consegue explicar?

O que está acontecendo?

O que a gente quer? Interpolar a função $\sin2\pi x$ para $0\le x\le 1$

Visualmente o que ocorre pode ser visto no gráfico a seguir:

Temos uma inconsistência!

Como só passamos o número de pontos, na verdade estamos aproximando a função mais um trecho reto:

Problema 4¶

Implemente a DFT usando a definição. Verifique como aumenta o custo computacional quando o número de pontos aumenta.

Como foi mostrado, esta operação é uma multiplicação de matriz por vetor. Verifique se invertendo a ordem dos loops afeta o desempenho.

DFT - Discrete Fourier Transform (transformada de Fourier discreta)¶

$$ c_n = X_n = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} x_k \exp\left(-\frac{2\pi i n k}{N} \right) $$

Chamando $$ w_k = w^k = \exp\left(-\frac{2\pi i k}{N}\right) $$ Repare que isto pode ser escrito como uma multiplicação de matrizes:

$$ \left(\begin{matrix} X_0 \\ X_1 \\ \vdots \\ X_{N-1}\end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ 1 & w & \cdots & w^{N-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & w^N & \cdots & w^{(N-1)^2}\\ \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_{N-1}\end{matrix} \right) $$

Problema 5¶

(Desafio) procure na net ou em algum livro como implementar a FFT. Tente!

Com $N$ divísível por 2: \begin{align} X[k] &= \sum_{r=0}^N x[r] W_N^{rk} \qquad W_N = \exp\left(-\frac{2\pi i}{N}\right)\\ X[k] &= \sum_{r=0}^{N/2-1} x[2r] W_N^{2rk} + \sum_{r=0}^{N/2-1} x[2r+1] W_N^{(2r+1)k} \\ X[k] &= \sum_{r=0}^{N/2-1} x[2r] W_{N/2}^{rk} + W_N^k\sum_{r=0}^{N/2-1} x[2r+1] W_{N/2}^{rk} \\ X[k] &= X_{par}[k] + W_N^k\cdot X_{ímpar}[k] \end{align}

Jeito mais inteligente¶

(retirado do livro Random Vibratrions, Spectral & Wavelet Analysis de D. E. Newland)

Problema 6¶

A transformada de Fourier está diretamente relacionada com a série de Fourier e é dada por: $$ X(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-i\omega t}\: dt $$

6.1 Calcula a transformada de Fourier para a função¶

$$ x(t) = \left\{\begin{matrix} 1 & -1 < x < 1 \\ 0 & x \ge 1\end{matrix}\right. $$ $$ X(\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-i\omega t}\: dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-1}^1 e^{-i\omega t}\: dt = \frac{1}{2\pi}\left.\frac{i e^{-i\omega}}{\omega}\right|_{-1}^1 = \frac{\sin\omega}{\pi\omega} $$ $$ \text{sinc} = \frac{\sin\pi x}{\pi x} $$

6.2 Discretize a função e use a FFT para calcular a transformada.¶

$$ X(\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-i\omega t}\: dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-T_0/2}^{T_0/2} e^{-i\omega t}\: dt \approx \frac{1}{2\pi} \sum_{k=0}^{N-1} x(t_k) e^{-i\omega t_k}\Delta t \qquad \Delta t = \frac{T_0}{N} \qquad t_k = -\frac{T_0}{2} + k\cdot \Delta t $$

Ou seja,

$$ X(\omega) \approx \frac{1}{2\pi} \sum_{k=0}^{N-1} x(t_k) e^{-i\omega t_k}\Delta t = \frac{\Delta t}{2\pi} \sum_{k=0}^{N-1} x_k e^{-i\omega(-T_0/2 + k\Delta t)} = \frac{\Delta t}{2\pi}\cdot e^{\frac{i\omega T_0}{2}}\cdot \sum_{k=0}^{N-1} x_k e^{-i\omega k\Delta t} = $$

Discretizando $\omega = \omega_j = j\cdot \omega_0 = \frac{2\pi j}{T_0}$, $0 \le j < N$

$$ X_j = X(\omega_j) = \frac{\Delta t}{2\pi}\cdot e^{\frac{2\pi j T_0}{2{T_0}}}\cdot \sum_{k=0}^{N-1} x_k e^{-\frac{2\pi i j\omega k\Delta t}{N\cdot \Delta t}} = \frac{\Delta t}{2\pi}\cdot e^{\pi i j}\cdot \sum_{k=0}^{N-1} x_k \exp\left(-\frac{2\pi i j k}{N}\right) $$ ou seja $$ X_j = X(\omega_j) = \frac{\Delta t}{2\pi}\cdot e^{\pi i j}\cdot \sum_{i=0}^{N-1} x_k \exp\left(-\frac{2\pi i j k}{N}\right) $$ A somatória no ultimo termo é a DFT. O termo $e^{\pi i j}$ é corresponde à translação.

6.3 Tente verificar o que acontece se você adiciona zeros à esquerda e à direita da função discretizada.¶

Problema 7¶

Faça alguns exemplos do pacote ApproxFun (https://github.com/JuliaApproximation/ApproxFun.jl)